I
I Sumeri-I Popoli Mesopotamici in genere
e
“Sumer” significa terra coltivata, con questo termine gli Assiri e i Babilonesi hanno
chiamato la parte meridionale dell’attuale Iraq. Una regione geografica di
origine alluvionale creata dalla sedimentazione di due grandi fiumi Tigri ed Eufrate e che si affaccia sul
golfo Persico, denominata: “La Mezzaluna Fertile” .
Nonostante tale territorio fosse
circondato da una vasta zona desertica, paludoso e soggetto a diverse calamità naturali essi vi
si insediarono bonificandolo, fertilizzandolo e
rendendolo ricco di pascoli.
I Sumeri non furono
grandi soltanto per avere reso il loro territorio un vero e proprio “ Paradiso
Terrestre “. Essi, si dice, furono primi in tutto: nelle costruzioni dei canali
di irrigazione, nello inventare il cuneiforme per la scrittura, nel costituire
una scuola per chi volesse intraprendere la professione dello scriba, nel
tramandare ai posteri la loro storia, nel campo delle osservazioni
astronomiche, nella forma di governo bicamerale, nell’inventare la birra a
scopo terapeutico.... I Sumeri amarono a dismisura la natura e la divinizzarono
tutta. Da essa tutto si dipartiva: divina era l’acqua, divina la scrittura.
Al contrario del
popolo greco che amò l’oralità, dono del divino Apollo, i Sumeri ritennero che
la scrittura fosse un dono delle divinità.
La scrittura, da leggere
in appropriate ore della giornata nelle quali i raggi del sole dovevano avere
un particolare inclinazione, doveva
essere incisiva per impressionare il lettore: doveva poter essere un’arma
micidiale di persuasione.
Nel libro di G. Pettinato “ I Sumeri “ Ed.
Rusconidel 1992, a pag. 34 leggiamo: “ La stessa idea che ci fa comprendere
quanto fosse alta presso i Sumeri la stima, che sfiora l’ammirazione, per la
scrittura è espressa nell’inno al re Lipit-Eshtar, della Dinastia di Isin, nel
quale del giovane re è detto:
Nisaba,
la donna raggiante di gioia,
la
vera donna-scriba, la signora di ogni conoscenza,
ha
guidato le tue dita sulla creta,
ha
abbellito la scritta delle tavolette,
ha
reso la tua mano splendente con lo stilo d’oro.
Ed ancora più avanti, nella stessa pagina riportando “l’Elogio
dell’Arte della Scrittura”, editato dallo studioso A.Sjöberg:
L’arte
della scrittura è la madre degli oratori, il padre dei maestri;
l’arte
della scrittura è appassionante, non ti sazia mai;
l’arte
della scrittura è difficile da imparare, ma colui che l’ha
appresa
avrà
il mondo in mano.
Cura
l’arte della scrittura, ed essa ti arricchirà;
sii
diligente nell’arte della scrittura, ed
essa ti riempirà di ricchezza e abbondanza.
Quasi certamente la scrittura compare
inizialmente ad Uruk, essa veniva incisa su delle tavolette d’argilla che
rimase per circa tremila anni il materiale privilegiato della scrittura
cuneiforme:dal 3000 a.C. al 50 d.C.
Inizialmente essa sorse dall’esigenza di dovere registrare
attività amministrative in modo da rendere possibile la verifica delle
transizioni economiche. Successivamente invece fu utilizzata per la narrazione
di eventi storici, religiosi, o per composizioni letterarie: i popoli
mesopotamici amarono la loro vita e la loro storia e per questo motivo furono i
primi storici al mondo
Oggi la parola “cuneiforme” è
usata per indicare tutti i sistemi di scrittura in cui i segni grafici
sono composti da “cunei” che deriva dal latino ”cuneus” che significa chiodo,
infatti la parola cuneiforme significa “scrittura a forma di chiodo”. Con il
passare del tempo i caratteri cuneiformi furono ruotati di 90° rispetto alla
loro posizione iniziale.
Appare evidente che il cuneiforme fu utilizzato,
essenzialmente, per quantificare, prima, per
contabilizzare poi e che le forme di scrittura vere e proprie siano
sorte successivamente.
Ma perché i popoli sumeri adottarono
proprio questo metodo?
Andando a ritroso nel tempo in un periodo
compreso tra il 15000 e il 12000 a.C. i primi manufatti rinvenuti nel Medio
Oriente e precisamente nel Libano ci testimoniano prime tracce di
quantificazione consistenti in tacche incise in punteruoli ossei.
Questi oggetti, pare, siano stati
utilizzati nella Mezza luna fertile per quantificare tramite una corrispondenza
biunivoca di tipo 1-1 ( ad ogni tacca si faceva corrispondere una unità di
riferimento di una determinata merce o oggetto): dalle tacche ha origine
l’evoluzione del contare; dalle tacche ha origine il sistema di scrittura
cuneiforme.
L’osservazione delle origini della
quantificazione, da parte del popolo sumero e che gli scavi archeologici ci
hanno consentito, hanno origine dal 15000 a.C. e vengono suddivise nel seguente
modo:
1. Periodo che va dal 15000 all’8000 a.C., in
cui i cacciatori-raccoglitori usavano tacche per quantificare tramite quella
corrispondenza 1-1 della quale abbiamo parlato in precedenza;
2. Periodo, intercorrente tra l’8000 e il
3100, in cui gli agricoltori per contabilizzare usarono un sistema di
contrassegni : gli agricoltori pur comprendendo l’importanza del numero non
riuscivano a concepirlo come astrazione da classi di insiemi equipotenti; cioè
non capivano che gli stessi contrassegni potevano essere utilizzati per articoli
diversi.
In un periodo, compreso tra il 3100 e il
3000, in cui si svilupparono le città e si cominciò ad organizzare un’attività
di stato nella quale per la manutenzione delle metropoli occorreva un’
amministrazione centralizzata, fu inventata su tavolette di argilla la
scrittura pittografica.
In questo periodo i Sumeri passano dal
sistema tridimensionale del precedente periodo (solidi geometrici quali: sfere,
cilindri, coni).
Per rintracciare le prime orme di una matematica razionale,
una matematica nella quale si comincia ad operare per astrazione bisogna
scorrere in un periodo che intercorre tra il 600 e il 300 a.C. nel quale le civiltà mesopotamiche
cominciarono a possedere il concetto di numero che andava oltre al concetto
intuitivo di “ pochi o tanti”.
Cominciarono a possedere numeri interi più
grandi in grado di effettuare operazioni su di essi; altre ancora capirono che
i numeri facevano parte dei concetti astratti,
diedero determinate parole e simboli per ogni numero, e per la
numerazione usarono sistemi a base dieci, venti o cinque, per denotare unità di
quantità più grandi.
Per Aristotele molti
popoli usarono il sistema a base 10 perché 10 sono le dita delle mani.
In questo periodo,l’uomo comincia a
utilizzare le quattro operazioni aritmetiche e a operare con le frazioni.
Sempre in questo periodo si iniziarono a diffondere nozioni geometriche, ad esempio: concetto di
retta, di angolo e di cerchio.
I Babilonesi, che occuparono l’area
situata tra il Tigri e l’Eufrate, portarono un contributo principale alla
matematica.
Anche per i babilonesi le nostre
principali informazioni sulla matematica ci provengono da testi scritti su
tavolette di argilla.
Tavolette d'argilla mesopotamiche con segni matematici
.
La lingua e la scrittura delle tavolette
più antiche sono quelle akkadiche, che sostituirono la lingua e la scrittura
dei popoli sumerici. Le parole della lingua akkadica erano costituite da una o
più sillabe e ogni sillaba era rappresentata da un insieme di segmenti
rettilinei.
I numeri interi venivano scritti nel seguente modo:
Le caratteristiche più importanti del sistema di
numerazione babilonese sono il sistema sessagesimale e la notazione
posizionale.
All’inizio i babilonesi non avevano alcun simbolo che
indicasse l’assenza di un numero e
perciò i loro numeri erano ambigui.
Spesso veniva usato uno spazio vuoto per indicare
l’assenza di un numero in quella data posizione, ma ciò poteva dar luogo a
interpretazioni sbagliate. Nel periodo seleucide venne introdotto un simbolo
per indicare l’assenza di un numero.
I Babilonesi usavano la notazione posizionale anche
per rappresentare le frazioni .
Ad esempio 
significava 20/60.
Poche frazioni avevano dei simboli speciali.
Si trovano così:
|
|
Queste
frazioni venivano considerate dai babilonesi come “interi”.
I Babilonesi non usavano solo la base 60. Talvolta gli
anni erano scritti come 2 me 25, dove me stava per 100; lìmu veniva usato per 1000.
I sistemi misti coinvolgevano multipli di 60, 24, 12,
10, 6 e 2. Questi venivano usati per: date , aree , misure di peso e per l’uso
delle monete.
Non
sappiamo con certezza come nacque l’uso della base 60, si suppone che
l’ispirazione possa essere venuta dai sistemi di misura di peso.
Scrive il Loria che alcuni come Formaleoni e Cantor la
ricollegano l’ipotesi che i Babilonesi considerassero l’anno solare composto di
360 giorni e che essi sapessero dividere l’intera circonferenza in 6 parti in
base alla proprietà del lato dell’esagono regolare di essere uguale al raggio
del cerchio circoscritto.
E. Hoppe asserì che un ulteriore motivazione può esser
data a partire dalle osservazioni che gli Assiro-Babilonesi traendo profitto da un clima veramente
paradisiaco si giovarono dell’ombra proiettata sul terreno da uno stile
verticale, dividendo il terreno circostante alla base di un certo numero di
angoli fra loro uguali. Siccome l’angolo di 60° può ottenersi con estrema
facilità costruendo un triangolo equilatero, si presentò spontaneamente la
scelta del n. 6 come numero delle parti in cui dividere l’angolo giro.
Cambiando il 6 con il numero 10 si pervenne al numero
60 che moltiplicato per 6 origina il 360.
Il
360 assunse grande importanza perché le osservazioni astronomiche lo fecero
coincidere con il numero di giorni in un anno.
Ma ci sorge spontanea una domanda : Non è possibile
che tali popoli abbiano osservato che il
numero
Di certo i misteri e le coincidenze sono tante e forse
non a caso i popoli mesopotamici con i numeri 1,2,….., 60 venivano designati
gli dei della loro mitologia, mentre con le frazioni intermedie gli spiriti di
entità comprese tra l’uomo e un dio.
Per quanto riguarda l’origine della notazione posizionale possono esser
fatte due possibili ipotesi.
Nel sistema di scrittura numerica più antico
1moltiplicato per 60 veniva scritto con il simbolo 
più
grande di quello usato per scrivere il numero 1. Successivamente quando la
scrittura fu semplificata questo simbolo fu ridotto di dimensioni e indicò il
n. 60.
Un’altra,
possibile, spiegazione viene fornita dal sistema monetario, che nella forma
embrionale era costituito da gettoni di
argilla. L’evolversi della moneta facilitò molto probabilmente l’astrazione di
un numero. Per esempio:
1
talento e 10 mana avrebbe potuto essere scritto 
, dove
il 
significava 1 talento che vale 60 mana.
Nel sistema babilonese i simboli che denotavano 1 e 10
erano fondamentali. L’addizione e la sottrazione consistevano nell’aggiungere o
togliere simboli. Per indicare l’addizione i veniva indicata con il simbolo 
.
Più avanti venne effettuata anche la moltiplicazione
di interi, infatti moltiplicare per 37, per esempio, significava moltiplicare
per 30 e poi per 7 e sommare i risultati.
La moltiplicazione veniva indicata con il simbolo
I Babilonesi, tra le
altre cose dividevano anche un numero intero per un altro, poiché
dividere per un intero a e la stessa cosa che moltiplicare per il suo reciproco
1/a, si convertivano i reciproci in “decimali” sessagesimali e non usavano dei
simboli speciali per le frazioni;
avevano anche delle tavole che mostravano come i numeri della forma 1/a
potevano essere scritti come numeri sessagesimali finiti.
I Babilonesi si basavano completamente sulle tavole
dei reciproci.
Le loro tavole dicevano:
igi 2 gàl-bi 30
igi 3 gàl-bi 20
igi 4 gàl-bi 15
igi 6 gàl-bi
10…
Morris Kline, dal cui libro “Storia del pensiero
matematico” ed. biblioteca Einaudi del 1999 primo volume, abbiamo tratto molte importanti
notizie, asserisce che i significati precisi di igi e di gàl-bi non sono
noti.
Le frazioni sessagesimali, cioè numeri minori di 1,
espresse mediante le inverse di potenze di 60, ma con denominatori sottointesi,
continuarono ad essere usate dai greci
Ipparco e Tolomeo quando furono sostituite dai decimali in base 10.
I matematici della Mesopotamia erano molto abili anche
nello sviluppare algoritmi procedurali fra cui l’estrazione della radice
quadrata attribuita a matematici posteriori: talvolta attribuita al matematico
greco Archita o a Erone di Alessandria; questo procedimento fu chiamato anche
algoritmo di Newton.
I
matematici Babilonesi erano estremamente pratici, preferivano ricorrere alle
tavole che acceleravano il procedimento di calcolo. Infatti in buona parte
delle tavolette cuneiformi di argilla sono state ritrovate: tavole di
moltiplicazione, di reciproci, di quadrati
e cubi, di radici quadrate nella notazione sessagesimale.
Carl B. Boyer in “Storia della matematica” riporta:
2 30 9 6.40
3 20 10 6
4 15 12 5
5
12
6
10
8
7.30
Osservando la tavola il prodotto degli elementi di una
stessa riga è sempre 60. Si è discusso
molto sulla possibilità che i popoli Mesopotamici abbiano potuto scoprire lo
zero In effetti ai tempi della conquista della Babilonia di Alessandro il
Grande, i Babilonesi al posto dello spazio vuoto per sottolineare la mancanza
di cifre, per togliere ogni ambiguità, adottarono un segno speciale costituito
da due tratti cuneiformi inclinati.
Infatti il numero 2(60)^2+0(60)+2 risultò
distinguibile più facilmente dal numero 2(60)+2 scritto in un periodo più
antico nel seguente modo
Essi effettuavano la divisione mediante la
moltiplicazione del dividendo per il reciproco del divisore.
In effetti ai tempi della conquista della Babilonia di
Alessandro il Grande, i Babilonesi al posto dello spazio vuoto per sottolineare
la mancanza di cifre, per togliere ogni ambiguità, adottarono un segno speciale
costituito da due tratti cuneiformi inclinati.
I popoli mesopotamici, raggiunsero un alto livello nel
campo dell’aritmetica. Il Dickeson, in “ History the Theory of Numbers” , scrive
che nel “Talmud babilonese” è citato anche il criterio di divisibilità di un
numero per
100a+b
=7*14a+(2a+b).
I
matematici della Mesopotamia dimostrarono grande abilità anche nello sviluppare
procedimenti algoritmici, fra cui un procedimento per l’estrazione della radice
quadrata attribuito spesso a matematici posteriori. Esso viene talvolta attribuito al
matematico greco Archita(428-
la radice desiderata e sia n1 una prima approssimazione di
questa radice; sia m1 una seconda approssimazione ricavata dalla relazione 
; se n1 è un’approssimazione per difetto, allora m1 lo è per
eccesso, e viceversa.
Pertanto
la media aritmetica n2=
costituirà plausibilmente un’approssimazione successiva.
Poiché n2 è ancora un’approssimazione per eccesso, l’approssimazione successiva
sarà un’approssimazione
per difetto; si prende allora la media aritmetica 
per ottenere un
risultato ancor migliore. Tale procedimento può essere reiterato
indefinitamente.
I
babilonesi furono anche bravi nel campo dei calcoli elementari, grazie al loro
sistema numerico a valore posizionale e al loro uso di tabelle diverse. Essi di
conseguenza trovarono modi per risolvere equazioni e sistemi di equazioni, nel
contesto dell’algebra teorica. Non è da trascurare l’algebra pratica dato che ci ha indotto all’uso di
alcuni termini geometrici per indicare le incognite.
Nella tabella precedente sono stati elencati questi
termini e i loro equivalenti moderni.
|
Simbolo moderno |
Termine geometrico |
Grandezza Babilonese |
|
X |
Lato |
ush |
|
Y |
Larghezza |
sag |
|
x² |
Quadrato |
lagab |
|
Z |
Altezza |
sukud |
|
Xy |
Area |
asha |
|
Xyz |
Volume |
sahar |
Per l’equazione 
la soluzione dei babilonesi non era diversa dalla nostra 
.
Una equazione del tipo 
loro l’avrebbero,
certamente, scritta nel seguente modo:
lagab-ush= IIIII.
Dall’esempio fatto si deduce che gli antichi
babilonesi, sapevano risolvere equazioni di grado superiore al primo.
Le equazione di secondo grado del tipo, 
, dopo aver moltiplicato ambo i membri per a, ottenendo la
relazione 
e posto y=ax, e k=ac,
venivano trasformate nella equazione
le cui soluzioni in y erano equivalenti alle formule del
tipo:
; 
Ciò
fatto, ottenuti i valori di y, per trovare le corrispondenti soluzioni in x
veniva diviso per a e da ciò la costruzione di tabelle che fornivano la
immediata soluzione.
Gli antichi babilonesi erano capaci, anche, di
risolvere equazioni del terzo grado del
tipo 
.
In esse, il metodo era similare al precedente esposto.
Moltiplicando ambo i membri dell’equazione per 
, infatti, si ottiene:
Posto
, si perviene all’equazione in y:
Che può essere risolta sfruttando le tabelle che i
babilonesi avevano costruito per ottenere i valori di n nella relazione 
Abbiamo accennato in precedenza all’utilizzo nel campo
applicativo,
di
tavole la cui consultazione doveva essere utile nella risoluzione immediata di
alcuni problemi pratici. Tra queste tavole di grande interesse e studio è da
ricordare la tavoletta Plimpton 322. Tale tavola è un enigma per delle
scheggiature che non ne consentono una perfetta e completa interpretazione. La
tavola è composta di quindici righe e pare che sia una parte di una tavola ben
più grande distruttasi durante gli scavi archeologici effettuati.
Gli studiosi, nell’analizzarla sono riusciti a decifrare quattro colonne
e correggere manifestati nelle sequenze
numeriche. Nell’analizzare la seconda e terza colonna, pare che tra le stesse
ci sia una qualche connessione che viene chiarita dalla quinta colonna.
Nell’analizzare dette colonne sembra che i babilonesi
si siano occupati della risoluzione dei triangoli rettangoli e che abbiano
scoperto le relazioni:
, 
, 
con
a,b cateti e c ipotenusa di un triangolo rettangolo ed m, ed n con n>m
numeri interi positivi, che generano le “ terne pitagoriche “: relazioni che
vengono generalmente attribuite al matematico greco Diofanto e in un periodo intorno al 250
d.C.
I mesopotamici
erano infatti capaci di calcolare le aree di rettangoli, quadrati dei
triangoli rettangoli, dei trapezi e del cerchio usando per quest’ultimo 
=3.
Detti popoli inventarono anche un sistema di misura e
di peso. L’unità di lunghezza era il cubito pari a 0,496m mentre i suoi
sottomultipli sono: il dito=1/30 di cubito e il piede=2/3 di cubito.
Come unità di volume, invece assunsero la
centoquarantaquattresima parte del cubito-cubo, mentre per unità di peso
assunsero il peso di un volume di acqua pari alla duecento quarantesima parte
del cubito-cubo.
I popoli mesopotamici erano popoli meravigliosi e
grandi in tutto, grandi anche nel campo dell’astronomia.
Scrive il Loria: La fama dei babilonesi come indefessi
e accurati investigatori del corso degli astri è attestata da Plinio il
vecchio, il quale fissa l’inizio delle loro osservazioni a 100.000 anni innanzi
l’E.V. e da Polibio, che restringe a 31.000 anni la durata delle osservazioni
stesse. Senza farci mallevadori della esattezza di questi dati, probabilmente
fantastici , rileviamo che Callistene, entrando in Babilonia al seguito
Alessandro Magno, (
In aggiunta a quanto asserito, il Loria nella nota (1)
scrive che nulla ancora si può sapere sugli strumenti utilizzati dagli
Assiro-Babilonesi nelle loro osservazioni, ma che durante alcune ricerche
archeologiche sono stati ritrovati una lente e uno specchio.
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Gruppo
di studio: Badagliacca Giulia – Paziente
Greta
Bibliografia
Gino Loria - Storia della matematica -
Vol. 1 (1929).
Carl B. Boyer - Storia della matematica - ristampa (2004).
Morris Kline - Storia del pensiero
matematico- (1999).
G. Pettinato - I Sumeri- (1992).