II

 

Gli Egizi e la  Matematica

 

Grandi civiltà quali le mesopotamiche, le egizie, l’indiana, la cinese, la fenicia, la greca… sono sorte in prossimità di grandi corsi d’acqua o in prossimità dei mari infatti la civiltà mesopotamica si sviluppò nella “ fertile mezzaluna “,che è un vasto territorio compreso tra il Tigri e l’Eufrate; quella egizia si formò lungo il grande Nilo, che durante le alluvioni porta un limo fertilissimo che rende altamente produttiva la terra, invece la civiltà indiana si sviluppò nella grande vallata dell’Indo e quella cinese fiorì intorno allo Yangtzeching.

Non disprezzando queste ultime civiltà, delle quali possediamo insufficienti informazioni, ci dedicheremo maggiormente alla civiltà mesopotamica, della quale abbiamo già parlato, egizia e greca.

 L’egizio è un  popolo, oggi, abitante di una vasta zona compresa tra il mediterraneo, il Sudan, la Libia e il mar Rosso, di certo, nel predinastico, avrà trovato un paese alquanto diverso dall’Egitto moderno. Il Nilo scorre sempre attraverso i campi, ma non inonda più, non distrugge più i terreni, non cancella più i confini: villaggi e città, posti su colline artificiali, si trovano al di sopra del livello di inondazione.

 E’ vero, che l’Egitto, è un dono del Nilo, ma è altrettanto vero, come asserisce George Gheverghese Joseph, citando lo storico  Diodoro Siculo in “C’era una volta il numero”, ed. Saggiatore, che la popolazione dell’Egitto è un dono degli altipiani dell’entroterra Africano: gli Etiopi.

Gli Etiopi, si costituirono intorno al Nilo in piccole comunità agricole indipendenti e successivamente, intorno al 3500 a.C. ,  gradualmente si unificarono formando due regni, l’Alto e il Basso Egitto al  a.C. , poi una figura leggendaria, proveniente dalla Nubia, chiamata Menes, le unificò in un unico regno. Menes, fu il primo di tanti grandi faraoni e a lui, unico re e unica divinità, si deve la fondazione di Memphis.

Ma la vera unificazione pare sia avvenuta ad opera del faraone Djoser e alla costruzione della sua tomba : una piramide a gradoni alta sessanta metri circa.

E’ con il suo regno, che le varie comunità regionali, a volte litigiose ed ostili, furono realmente unificate. Un gran numero di operai, provenienti da diverse province furono chiamati per la costruzione di quella enorme piramide che avrebbe dovuto stupire il popolo egizio e perpetuare l’immortalità di Djoser e la sua venerazione da vivo e da morto. E’ con Djoser che viene amalgamato un popolo che vivrà soltanto per l’immortalità del faraone.

Per la sua immortalità venne costruita, scrive Devid Roberts in “L’epoca delle Piramidi”, una rete di canali  che si diramava dal Nilo per trasportare quegli enormi blocchi che sarebbero serviti alla costruzione della piramide. Con le barche furono trasportati i cibi per il sostentamento degli operai. Da ciò,  non è azzardato pensare, che, per sfamare l’enorme popolazione operaia, sia stata avviata su grande scala la produzione  agricola e che si sia sentita la necessità della contabilizzazione delle paghe, delle ore lavorative e della quantità di  cibo da somministrare e che per tali necessità sia stata inventata la scrittura, quella scrittura dalle origini divine, alla quale gli egizi, come avvenne per i sumeri, attribuirono una grande importanza tale da istituire  scuole per scribi.

Le ipotesi di certo possono esser tante e tante, ma su una cosa pare che tutti concordino: la scrittura, come per i sumeri,  anche per gli egizi, nasce dalla esigenza di quantificare, da una sempre più pressante necessità di contabilizzare.

Anche per gli egizi, i numeri sarebbero nati prima della scrittura, l’esigenza di quantificare spinge gli egizi ad inventare simboli numerici e l’esigenza di misurare il tempo all’invenzione del calendario. Per esigenze commerciali vengono indotti alla creazione del sistema di misura dei pesi e  a rappresentare in scala il mondo reale: ciò ci induce a pensare sempre più ad un Talete che secondo Apuleio, dopo avere attinto alle conoscenze matematiche degli egizi, avrebbe saputo rappresentare il mondo per mezzo di “ piccole linee”.

Purtroppo le informazioni intorno alla civiltà egizia e intorno alle loro conoscenze matematiche e astronomiche fornite da scrittori latini e greci sono poco chiare e scarsamente attendibili e le testimonianze, dirette, scritte che ci pervengono non sono abbondanti come quelle dei popoli mesopotamici a causa della scarsa resistenza all’usura del tempo del papiro, materiale utilizzato per la scrittura dagli egizi, ci vengono,invece, in aiuto reperti archeologici. Grande importanza è attribuita al papiro, inizialmente incompleto nelle sue parti, di Ahmes, cosi denominato dal nome dello scrivano che intorno al 1650 a.C. lo compose, ma più conosciuto come papiro di Rhind, in onore di colui che nel 1858 lo acquistò per donarlo successivamente al British Museum; il fortunato ritrovamento delle parti mancanti del papiro di Ahmes, che oggi si trovano alla New York Historical Association, nel 1922, ne permisero la completa ricostruzione. Si deve dare inoltre molta importanza al  papiro di Mosca composto intorno al 1850 da uno scriba sconosciuto, che si trova, oggi al Museo delle belle arti di Mosca.

Altri ritrovamenti importanti avvennero nel corso di alcuni scavi in una grotta sulle montagne Lelembo, al confine con lo Swaziland nell’Africa meridionale, venne scoperto un piccolo osso (traduzione fibula) di babbuino,con ventinove tacche ben visibili risalente all’incirca al 35.000 a.C.

         Si suppone che queste incisioni siano collegate ai segni del calendario della popolazione della Namibia.

         In una tabella apposita riportiamo la figura, (  per gentile concessione del dott. J. De Heinzelin ) di un  importante reperto archeologico, tratto da “ C’era una volta un numero “ di George Gheverghese Joseph, capitolo 2 pag. 40. Tale reperto è stato ritrovato ad Ishango, una località  sul lago Edoardo ai confini con l’Uganda e lo Zaire.         E’ un’impugnatura di un attrezzo in osso pietrificato o alterato da una possibile reazione chimica non definibile per il decorso del tempo, circa 2000 anni, di color marrone che si trova al museo di storia naturale di Buxelles.

          

Si può osservare che la figura presenta alcuni moduli numerici di base all’interno di ogni riga.

La somma dei segni delle righe (a) e (b) danno 60.La (b) contiene numeri primi compresi tra 10 e 20, invece la riga (c) è stata interpretata come dimostrazione di una conoscenza del concetto di moltiplicazione per 2.

 

La sete di conoscenza della civiltà Egizia fu finalmente soddisfatta da J. F. Champollion, che giovandosi delle conoscenze che possedeva sulla lingua copta, un idioma derivato dal greco ed usato in Egitto, riuscì a decifrare un’iscrizione trilingue a Rosetta, durante la spedizione napoleonica in Egitto, e ad interpretare la scrittura geroglifica.

Infatti, al contrario di quanto si pensasse, in Egitto si sono avvicendati tre tipi di scrittura:

a)    geroglifico pittorico;

b)    ieratico (simbolico) utilizzato nel papiro di Ahmes e di Mosca;

c)    demotico (popolare);

 

Per avere un esempio sui caratteri numerici ieratici usati dagli egiziani basta osservare i simboli contenuti nella seguente tabella:

 

 

 

 

Il ritrovamento dell’estremità di una mazza risalente al III millennio a.C. ci consente di conoscere l’entità del bottino di guerra del faraone Narmer: 120.000 prigionieri, 400.000 bovini, 1.422.000 capre. In esso l’entità delle cifre era tale da costringere, per la loro rappresentazione, nuovi simboli ogni qualvolta il computo delle quantità lo richiedesse; infatti, nacquero nuovi simboli tipo quelli rappresentati nella tabella seguente:

 

 

 In questo modo i numeri potevano scriversi in qualsiasi ordine in orizzontale ed in verticale, anche se era preferito l’ordine da destra verso sinistra.

Non era conosciuto lo zero come operatore, erano conosciuti,invece, gli algoritmi dell’addizione e della sottrazione, probabilmente simili ai classici algoritmi euclidei ancora oggi in uso. Per la moltiplicazione usavano il seguente algoritmo: si costruisce una tabella di due colonne; nella prima riga mettere “1” ed il secondo fattore e le righe successive ottenerle raddoppiando gli elementi della riga precedente finché nella prima colonna si ha un numero minore del primo fattore. Ora scegliere solo le righe i cui elementi della prima colonna, sommati tra loro, danno il primo fattore. Sommando i corrispondenti elementi della seconda colonna si ottiene il prodotto desiderato. Non è difficile riconoscere in questo metodo la conversione in binario del primo fattore.

Ad es. se  si vuol moltiplicare  41 per 59; si avrà:

 

1*

59+

2

118

4

236

8*

472+

16

944

32*

1888+

41

2419

 

Dove 2419 è ottenuto sommando i termini in seconda colonna delle righe 1a,  4a   e  6a,  i cui corrispondenti in prima colonna sommati danno 41

La divisione tra due numeri naturali era ottenuta in maniera similare; volendo dividere D (dividendo) per d (divisore) si costruisce una tabella con due colonne; nella prima riga mettere 1 e d e le righe successive ottenerle raddoppiando gli elementi della riga precedente finché nella seconda colonna si ha un numero minore del dividendo D. Quindi scegliere solo le righe i cui elementi della seconda colonna, sommati tra loro, danno il dividendo o la migliore approssimazione per difetto (S) dello stesso. Sommando i corrispondenti elementi della prima colonna si ottiene il quoziente o la sua parte intera. 

Ad es. se si vuol dividere  554 per 22 si avrà:

 

       1 +

22  *

       2

    44

       4

    88

       8 +

 176  *

       16 +

 352  *

       25

 

 

Il quoziente é ottenuto sommando gli elementi in prima colonna delle righe 1a,  4a e  5a,  i cui corrispondenti in seconda colonna danno la migliore approssimazione per difetto di  554  (352+176+22=550).

 

Presso gli egizi il risolvere operazioni con le frazioni fu molto importante  poiché in una società che non utilizzava denaro per commerciare ma si serviva di scambi c’era bisogno di calcoli precisi che solo le frazioni potevano risolvere, ,come la suddivisione del cibo e delle terre ,un altro motivo per cui le frazioni furono importanti era la divisione per 2 che comportava l’uso delle frazioni.

Per calcolare, ad esempio, un terzo di un numero uno scriba doveva trovare prima i due terzi del numero e poi dimezzare il risultato, tranne che per i 2/3  per il quale si creò un simbolo apposito, non esistevano altre frazioni composte poiché tutte le frazioni venivano scomposte in una somma di frazioni unitarie. Per rappresentare una frazione unitaria gli egizi utilizzavano il simbolo              che significava  parte e stava sopra il denominatore.

Per analizzare in modo corretto la tabella  che segue occorre interpretare i numeri che figurano nei primi membri come frazioni che hanno come numeratore 2 , e i numeri che si trovano nel secondo membro come frazioni con numeratore 1.

 

5=3+15

55=30+330

7=4+28

57=38+114

9=6+18

59=36+236+531

11=6+66

61=40+244+488+610

13=8+52+104

63=42+126

15=10+30

65=39+135

17=12+51+68

67=40+335+736

19=12+76+114

69=46+138

21=14+42

71=40+568+710

23=12+276

73=60+219+292+365

25=15+75

75=50+150

27=18+54

77=44+308

29=24+58+174+232

79=60+257+316+790

31=20+124+155

81=54+162

33=22+66

83=60+332+415+498

35=30+42

85=51+255

37=24+111+296

87=58+174

39=26+78

89=690+356+534+890

41=24+246+328

91=70+130

43=42+86+129+301

93=62+186

45=30+90

95=60+380+570

47=30+141+470

97=56+679+776

49=28+196

99=66+198

51=34+102

101=101+202+303+606

=35+318+79553

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il Loria cercò di studiare i metodi applicativi trascritti nel papiro di Rhind, per alcune frazioni,forse la spiegazione fornita dal Loria è molto vicina alla tecnica scompositiva applicata dagli antichi egizi, per altre è molto difficile e le ipotesi possono esser tante..

Si attribuisce agli egiziani la conoscenza del classico triangolo rettangolo aventi lati 3,4,5 e la costruzione dell’angolo retto.

Per creare un triangolo rettangolo, si usava stendere una fune lunga 3+4+5 come unità di misura sulla quale dopo si segnavano i punti distanti dagli estremi,stendendo quella fune in modo da rinchiudere un triangolo,l’angolo opposto al lato 5 risulta retto.

Questo metodo inoltre, venne utilizzato dagli arpedonatti (tenditori di corde), cioè una classe di agenti delle imposte che determinava l’imposta dei terreni dei cittadini.

Questa enorme capacità di lavorare con i numeri ma anche con figure geometriche, fa grande il popolo egizio e rende onore al proprio ingegno.

 

 

Gruppo di studio: Baiamonte Salvatore–Bonomolo Dario- Patti Salvatore

 

 

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Bibliografia

Gorge Gheverghese Josef “ C’era una volta un numero “

Devid Roberts “ L’epoca delle Piramidi ”

National Geographic Gennaio 1995

Ed. Il Saggiatore, Milano anno 2000

Carl B. Boyer “ Storia della matematica “

Ed. Oscar Mondatori Anno 2004

Morris Kline “ Storia del pensiero matematico”

Ed. Enaudi  Anno 1999

Gino Loria “ Storia delle matematiche “

Ed. Sten Anno 1929