VII
Pitagora - i Pitagorici - il numero e l’irrazionale
Il primo periodo della storia della matematica greca,
scrive il Loria in “ Storia della matematica “ ( ed. S.T.E.N. Torino 1929 ), si
inizia nel momento in cui viene accesa timidamente la fiaccola dell’indagine
filosofica e si chiude , dopo circa tre secoli, con la morte di Alessandro
Magno.
Non completamente concorda, ( “ storia del pensiero
matematico“ Biblioteca Einaudi ), Morris
Kline per il quale la scuola Ionica, ha
dato notevole impulso alla filosofia e
alla filosofia delle scienze ma meriterebbe
una breve citazione soltanto per quanto riguarda la matematica vera e
propria “ e per il quale la fiaccola avrebbe cominciato a ravvivarsi grazie a
Pitagora e ai Pitagorici.
Tutti gli studiosi di Pitagora e del
Pitagorismo in genere concordano nell’asserire che scarse e confuse sono le
conoscenze sulla vita di Pitagora e dei pitagorici e che è più giusto parlare
del gruppo pitagorico delle idee filosofiche che in esso si propagarono, della
dottrina professata, delle scoperte matematiche alle quali esso sarebbe
pervenuto.
Pitagora, figlio, presumibilmente, di
un incisore di monete, sarebbe, per alcuni, nato a Samo, attorno al
Mileto è una città poco distante da
Samo e avrebbe, per tale vicinanza, subito notevoli influssi da parte dei
pensatori ionici, lo stesso Pitagora, pare sia stato allievo di Talete.
Come Talete e tanti altri pensatori
greci, Pitagora viaggiò molto e molto apprese dai popoli egizi e mesopotamici.
Leggenda vuole che, con Pitagora si sia avuto
il primo esempio di raccomandazione. Non ben accetto dai sacerdoti egizi, pare
che sia stato raccomandato da un proprio zio presentandosi ad essi con due
grandi anfore d’argento, alle quali, i sacerdoti non avrebbero saputo dire di
no!
Dai popoli Egizi e Mesopotamici pare
che oltre ad avere acquisito i primi rudimenti della matematica sia stato
influenzato dalle loro dottrine mistiche. Grazie agli egizi, pare, così
asserisce Erodoto, abbia appreso sulla
immortalità dell’anima dell’uomo e che alla morte del corpo,in una
trasmigrazione dalla durata di tremila anni sarebbe passata nel corpo di un
animale e cper tutti gli animali della terra del mare e dell’aria, e alfine
ritornata nel corpo di un uomo nascente.
Stabilitosi, successivamente a Crotone,
accolto bene dai crotoniati per il suo
aspetto nobile e il grande decoro nel parlare e nel comportarsi, tant’è che i
magistrati lo incaricarono di fare ai giovani discorsi suasori adatti alla loro
età, così asserisce Porphirio, fondò una setta mistica alla quale ebbero
accesso anche le donne: era questa una confraternita ove gli adepti imparavano,
segretamente: filosofia, matematica, fisica e argomenti scientifici in genere.
La setta pitagorica si interessò anche alla politica e non disdegnò di
impegnarsi politicamente. Dopo avere stretto alleanza con alcuni appartenenti
all’alta aristocrazia Crotoniana sembra che i pitagorici siano stati cacciati
da Crotone ad opera del partito popolare o dal partito democratico della città.
Da Crotone Pitagora si trasferì a
Metaponto ove pare sia morto. Tanta
sarebbe stata l’ammirazione per lui, scrive Cicerone, che la sua casa sarebbe
stata trasformata in un tempio e il vicolo, ove essa si trovava, in Museo.
Sulla sua morte si narrano diverse
leggende tra queste se ne ricorda, in particolare, una. Si dice che Pitagora
predicasse che le fave costituissero un elemento impuro e che per questo
bisognava non mangiarne e non venirne a contatto. Pare che per evitare di
attraversare un campo di fave si sia lasciato uccidere da alcuni briganti che
avevano devastato la propria casa.
Simpatica è l’osservazione fatta da De
Crescenzo per il quale Pitagora potrebbe essere stato fortemente allergico alle
fave e che per questo abbia preferito la morte ad una grave crisi allergica. E’
da osservare che molti personaggi storici sono rimasti vittima dei loro stessi
predicati: Talete sarebbe morto di sete nell’assistere da un agone ginnico, Zaleuco avrebbe sacrificato un occhio
per salvare dalla cecità il figlio colpevole di bigamia: la cecità era, la
condanna richiesta da una legge emanata dallo stesso legislatore Zaleuco per il bigamo.
Ma secondo Aristosseno, discepolo di
Aristotele, nel libro che lasciò scritto su Pitagora, il filosofo, così si
definì Pitagora, si sarebbe cibato di legumi e in particolar modo di fave
perché riteneva che queste liberassero e rendessero liscio il ventre: la fonte
di tale informazione non sarebbe diretta e che Aristosseno ne sarebbe stato informato
dal pitagorico Senofilo, familiare di Pitagora, e da tanti altri più vecchi di
lui ma non lontani dall’età di Pitagora stesso.
Porphirio in “ vita di Pitagora “
scrive che Duride di Samo asserisce che ebbe un figlio dal nome Arinmesto, ma
che per altri avrebbe avuto un figlio da Teano di Pitonatte chiamato Telauge e
una figlia, Muia.
Erodoto nel libro II 123 Pitagora, oltre a dare al
gruppo da lui fondato dei precetti comportamentali, parlò ebbe il merito di trasformare la scienza in
una forma di educazione liberale, riconducendo i principi a idee ,
dimostrandone i teoremi in maniera
astratta e intellettuale.
Ciò non deve indurci a pensare che i Pitagorici
antichi sia giunti a costruire una scienza matematica con una evoluzione
organica ed unitaria a causa della eterogeneità del loro gruppo e delle loro
dottrine.
Nel dedicarsi alle scienza matematiche in esse, dice
Aristotele in “ Metafisica “, esse
identificarono il principio di tutte le cose. Tra tali principi, occupavano il
primo posto. Delle proprietà dei numeri alcune si identificavano con la
giustizia, con l’anima, altre con l’intelletto, con il tempo critico. Il numero
sette e suoi multipli, ad esempio, erano numeri critici: parto settimino,
cambio dei denti a sette anni, la pubertà a quattordici anni, la maturità a 21
anni….
Altre proprietà individuavano nei numeri le proprietà
e i rapporti delle armonie musicali. Tutto si modellava sui numeri, i numeri,
continua Aristotele, per i Pitagorici, erano l’essenza primordiale
dell’universo fisico: tutta la realtà l’intero cielo erano armonia e numero. E
se in qualche parte veniva fuori qualche imperfezione, essi addizionavano i
numeri per rendere perfetta la loro dottrina e poiché la decade sembrava
perfetta e capace di abbracciare la intera natura dei numeri essi asserirono
che dieci fossero gli astri che si
spostavano sotto la volta celeste e siccome quelli visibili sono nove, il
decimo formava l’antiterra.
Per i pitagorici il numero oltre ad essere materia era
costitutivo delle affezioni e dei loro stati.
Il pari rappresentava l’infinito, il dispari il
finito, l’uno era pari e impari nel contempo; il numero deriva dall’uno e
l’intero cielo si identificava con i numeri. I principi, per i pitagorici sono
dieci e per coppia:
1) limite e il limite; 2)
dispari e pari;
3) unità e disparità; 4)
destro e sinistro;
5) maschio e femmina; 6)
quieto e moto;
7) retto e curvo; 8)
luce e oscurità;
9) buono e cattivo; 10)
Quadro e oblungo;
Da quanto detto si deduce che i pitagorici,
dedussero che i contrari sono principi di tutte le cose esistenti, ma l’uno è
l’essenza del tutto.
O. Becker, citato dal Prof. Filippo Franciosi, nel
bollettino dell’istituto di filologia
greca supplemento 2, nel trattare “
L’irrazionalità nella matematica greca arcaica “, nello interessarsi delle
dottrine pitagoriche, le ha suddivise in tre gruppi essenziali precedute da due
teorie: a) le proporzioni che a
suo giudizio hanno origine musicale e quindi non matematica e geometrica;
b) la geometria che doveva essere preesistente
all’aritmogeometria.
I tre gruppi a cui fa riferimento il Franciosi sono:
1) Dottrina dei numeri poligonali, o per essere più
precisi dei numeri lineari, piani, solidi;
2) Aritmo-logica;
3) Dottrina del pari e del dispari.
La dottrina dei numeri poligonali si occupò della
rappresentazione dei numeri per mezzo di punti: tanti punti per quante sono le
unità che compongono il numero, disposti in modo da formare dei poligoni
regolari.
E’ questa una aritmogeometria, di origine arcaico con
significati anche mistici.
L’aritmo-logistica si interessò della trasformazione
dei numeri tramite le operazioni e la consequenziale rappresentazione come
insiemi di unità, rappresentate tramite 
e disposte allineate e
non vincolate ad alcuna forma geometrica: ciò consentiva il libero spostamento
delle nel piano e, ciò
equivale, asserisce il Franciosi, all’applicazione delle nostre proprietà
commutativa, associativa e distributiva.
La dottrina del pari e del dispari è, per il Becker, “
una vera e propria teoria matematica in miniatura” che egli individua nelle
proposizioni 21-34 del lib.IX degli elementi da considerare come l’inizio delle
classi di congruenza modulo 2.
Per evidenziare l’importanza di tale dottrina, citiamo
dette proposizioni dagli “ elementi
“ di Euclide tradotti da Lamberto
Muccioni e commentati da Attilio Fraiese nella collana delle scienze ed.
U.T.E.T.:
21) Se sommano quanti si vogliono numeri pari, il
totale è pari;
22) Se si sommano quanti si voglia numeri dispari , ed
il numero di essi è complessivamente pari, il totale sarà pari;
23) Se si somma un numero dispari di numeri dispari,
il totale sarà pure dispari;
24) Se da un numero pari si sottrae un numero pari, la
differenza sarà pari;
25) Se da un numero pari si sottrae un numero dispari,
la differenza sarà dispari;
26) Se da un numero dispari si sottrae un numero
dispari, la differenza sarà pari;
27) Se da un
numero dispari si sottrae un numero pari, la differenza sarà dispari;
28) Se un numero dispari moltiplica un numero pari, il
prodotto sarà pari;
29) Se un numero dispari moltiplica un numero dispari,
il prodotto sarà dispari;
30) Se un numero dispari divide un numero pari,
dividerà anche la sua metà;
31) Se un numero dispari è primo rispetto ad un altro
numero sarà primo anche rispetto al doppio di esso;
32) Ciascuno dei numeri che si ottengono raddoppiando
successivamente a partire da una diade ( cioè A=2 ) non può essere che un
numero parimente pari;
33) Se un numero ha la metà dispari, non può essere
che parimente dispari;
34) Se un numero non è fra quelli che si ottengono
raddoppiando di seguito a partire dal numero 2, né ha dispari la metà, esso è
parimente pari e parimente dispari.
Un interessante studio, forse l’unico per
approfondimenti, importanza e completezza di documentazione, sull’aritmo
geometria lo troviamo in “ De Pytagora a Euclide “ di Paul-Henry Michel Ed. Le
Belles Lettres Paris 1950.
Abbiamo già detto che il numero
nell’aritmogeometria era rappresentato da unità punto, esse erano disposte
spaziate in modo che non si potesse generare alcuna confusione nella lettura e nella interpretazione.
In tale sistema le unità punto avevano
il valore di un atomo matematico. Tale unità punto non ammette, scrivono Paul-Henry Michel,
quindi, alcun frazionamento. Ciò ci fa ricordare della definizione euclidea di
punto nel libro I degli “ Elementi “: Il punto è ciò che non ha parti.
Nel commento a piè pagina così scrive
il Fraiese: “ E’ questa del punto la più celebre definizione di Euclide. Essa
viene comunemente interpretata nel senso che il punto non avendo parti non ha
neppure estensione alcuna: Euclide introdurrebbe in tal modo, nella prima
definizione, il punto quale ente idealizzato, cioè privo di dimensioni… Chi
scrive lascia naturalmente libero il lettore di associarsi a tale communis
opinio: tuttavia osserva che la prima definizione si riferisce tanto al punto
quanto all’unità…Già Proclo, del resto, nel suo “ Commento al primo libro degli
elementi di Euclide, nota l’identità delle due definizioni, distinguendo
tuttavia, con i pitagorici, il punto come unità avente posizione “.
Le unità punto, presso i pitagorici,
dovevano essere spaziate in modo che nel leggerle non si potesse generare alcuna
confusione. Al numero deve corrispondere una
figura chiara, comprensibile dalla quale devono emergere le proprietà dello
stesso: è un numero figurato che nella sua rappresentazione assume una
disposizione puntuale geometrica, da ciò prende il nome di numero figurato, ma
la figura non gode di alcuna proprietà geometrica.
Nella sua rappresentazione attorno a
ciascuna unità punto doveva estendersi un campo 
, mentre l’insieme delle unità punto doveva formare dei campi
più vasti che rappresenta il numero. A volte però il numero poteva essere
rappresentato soltanto da unità punto, soltanto dall’unione dei campi o
contemporaneamente da campi e punti.
Qui di seguito in figure sono
rappresentati i vari modi di rappresentare il numero 3:
Nella raffigurazione delle unità punto
possiamo, osservare la parità e l’imparità del numero: nel caso della parità
una linea tracciata centralmente divide il campo senza intersecare l’unità
punto, nel caso contrario, cioè nel caso in cui il numero fosse dispari la
linea centrale la intersecherà.
Con
i numeri figurati dovevano essere possibili le trasformazione mediante
operazioni di addizione e di moltiplicazione.
Quest’ultima operazione, scrivono
Paul-Hanry Michel, sarà considerata più tardi da Euclide ( Elem., libri VII,
VIII e XI ) e Diofanto ( Trattato
dei numeri poligonali ), e sarà, anch’essa, suscettibile di una trasposizione
figurata.
Il numero piano è prodotto se la
disposizione delle sue unità-punti mette in risalto una moltiplicazione, è
somma se rappresenta il risultato di una addizione di termini disuguali; nella
trasposizione figurata le unità punto saranno posizionate in modo tale da
dedurre da il tipo di operazione è stata
applicata alla unità punto: dalla figura ci accorgiamo che la somma
coinvolge numeri disuguali.
Consideriamo, in particolare la serie
dei numeri:
1,
1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+5+6, ….., 1+2+…+n
cioè la serie dei numeri:
1, 3, 6, 10, 15, 21,….
Ciascuna di tale successione di numeri
interi, può essere rappresentata a partire dal numero 1 i una successione
figurata triangolare.
Questa prima serie e consequenziale rappresentazione
figurata, sono particolarmente
importanti: da esse ne discendono altre.
Plutarco,
nell’attribuirlo a i pitagorici della vecchia scuola fornisce un importante
esempio dei risultati ai quali può portare la sua considerazione:
aggiungendo una unità al prodotto per 8
di un numero triangolare, si ottiene un numero quadro:
Da ciò osserviamo che i pitagorici
ottennero la serie dei quadrati dispari triangolari.
|
Interessiamoci,
adesso dei numeri quadrati a partire dai numeri triangolari. Osservando la
figura riprodotta accanto notiamo l’unione
di due triangoli accoppiati entrambi uguali a 10, (dieci sono le unità punto
che li compongono) : 1+2+3+4 con un lato in comune. |
|
Nell’osservare
ulteriormente la figura notiamo essere composta da tanti quadrati l’uno incluso
nell’altro, leggendo, in rotazione, le unità punto che si trovano sui lati di
ciascuno di essi si ha:
1+2+1=4, 1+2+3+2+1=9, 1+2+3+4+3+2+1=16.
Ampliando la figura,
cioè aggiungendo ulteriori quadrati otteniamo conformazioni simmetriche di
addendi la cui somma fornisce numeri quadrati.
Continuando la nostra
esplorazione nel campo dei numeri figurati, costruiamo una ulteriore figura
costituita dall’unione di tre triangoli con vertice comune il punto unità: nel
far ciò rappresentiamo dei numeri figura la cui successione non è altro che una
progressione aritmetica di ragione 3, (la precedente era di ragione 2).
|
Così facendo, otteniamo la serie: |
|
|
1, 4, 7, 10, 13, 16… alla quale corrisponde la serie somme: 1, 5, 12, 22, 35… |
Che dalla forma della figura prendono
il nome di numeri pentagono.
Possiamo
dedurre che, ai pitagorici, alla progressione aritmetica di ragione 4: 1, 5, 9,
13, 17 ottenuta dall’unione di quattro triangoli di unità punti, corrispose la
serie somme: 1, 6, 15, 28, 45…che prende il nome di serie di numeri esagoni.
Per induzione
possiamo ben comprendere come i pitagorici costruirono i loro numeri poligono:
ad ogni
poligono si fa corrispondere una serie di numeri ottenuta con la somma di una
progressione aritmetica avente per origine l’unità, la cui ragione è data dal
numero dei lati del poligono meno due.
I pitagorici,
partendo dai numeri piani e sempre per
somme di serie, costruirono un altro
tipo di numeri detti poliedrici o piramidali.
La loro
costruzione la si ottiene facendo corrispondere ad ogni poligono un poliedro
che non è altro che una piramide avente per base il poligono considerato. Le
facce della piramide sono tanti triangoli pari al numero dei lati del poligono
più uno. Così procedendo al triangolo corrisponderà un tetraedro; al quadrato
un pentaedro (piramide a base quadrata); al pentagono, l’esaedro (piramide a
base pentagonale e non, come normalmente
si intende, il cubo)…
|
La prima serie dei numeri piramidali è quella dei numeri tetraedrici, ottenuta dalla somma dei numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15,
21….; Alla quale corrisponde la serie: 1, 4,10, 20, 35, 56…. Lateralmente vediamo
riprodotto il del numero tetraedrico 20. |
|
|
Allo stesso modo potremmo dai numeri
quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, … passare alla serie dei numeri pentaedrici: 1, 5, 14, 30, 55,… Una idea sul come potevano essere rappresentati i
numeri pentaedrici, ci viene data dalla figura riprodotta prospettivamente
accanto. In essa i punti sono raccordati da un reticolo, non perché i pitagorici rappresentassero in tal modo i numeri, bensì per rendere più chiara la loro interpretazione. |
|
I
numeri quadrati corrispondono ad una progressione aritmetica di ragione 2
avente per origine l’unita. Essi si formano tramite la somma di numeri
successivi impari: 1, 3, 5, 7, 9,…,2n+1.
In
figura, una tale proprietà viene ben evidenziata
Grazie ai numeri quadrati, in
una ulteriore evoluzione della aritmogeometria
i pitagorici pervennero alla
geometria propriamente detta per mezzo del calcolo delle aree, ponendo la serie
somma 1+3+5+7+9+…+(n-1) = n*n
Gli
impari della figura aggiunti via via ai quadrati precedenti, prendono il nome
di gnomoni. Per il greco la parola Gnomone
ha diversi significati e tra questi: un’asta piantata perpendicolarmente
su di una superficie orizzontale la cui posizione dell’ombra proiettata dal
sole sulla superficie faceva dedurre l’orario del giorno. Per Euclide il
gnomone non è uno gnomone a squadra formato da unità punto impari, bensì un trapezio
aggiunto alla base di un triangolo in modo da formare con esso un ulteriore
triangolo. Per i pitagorici, tutti i numeri impari erano detti gnomonica;
scomponendo in tre parti il gnomone ed escludendo l’unità punto che si trova
nel vertice della squadra, le parti restanti, unità punto pari, uguali e simmetriche rispetto all’unità punto
esclusa, prendono il nome di tautomèche (
).
|
La figura
riprodotta accanto ci rende
perfetta l’idea del gnomone |
|
Sottolineando
che i greci non conoscevano lo zero e tenendo conto, esso è stato introdotto
per evidenziare con maggiore chiarezza le proprietà che ne derivano dagli
impari e dei successivi gnomoni che compongono i numeri quadrati osserviamo il
numero quadrato sotto riprodotto e le proprietà che da esso possiamo dedurre
riassumendole in una consequenziale tabella:
|
* |
* |
* |
* |
* |
|
* |
* |
* |
* |
* |
|
* |
* |
* |
* |
* |
|
* |
* |
* |
* |
* |
|
* |
* |
* |
* |
* |
|
unità punto dei triangoli la cui unione da il
quadrato |
Numeri Impari gnomoni |
Elementi Degli gnomoni |
Somme degli impari |
Numeri pari |
Somme dei numeri pari |
|
1 |
1 |
1+(0+0) |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
3 |
1+(1+1) |
4 |
2 |
2 |
|
3 |
5 |
1+(2+2) |
9 |
4 |
6 |
|
4 |
7 |
1+(3+3) |
16 |
6 |
12 |
|
5 |
9 |
1+(4+4) |
25 |
8 |
20 |
Un
numero uguale alla somma dei suoi divisori escluso se stesso e incluso l’uno,
era detto, dai pitagorici, perfetto.
Numeri
perfetti erano, ad esempio, 6, 28 e 496:
6=1+2+3; 28 =1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+124+248;
I
numeri che superavano la somma dei propri divisori erano detti eccessivi,
mentre quelli che non la superavano erano detti venivano chiamati difettivi.
I
pitagorici, come i babilonesi escogitarono anche una regola che fornisse una terna di interi nella applicazione del
teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo; se n è dispari allora la così
detta terna pitagorica sarà del tipo:
Anche
i numeri primi furono oggetto di studio, come, per i pitagorici lo furono le
progressioni aritmetiche e geometriche
ed anche la media aritmetica tra due numeri, la loro media geometrica e la loro
media armonica che risulta essere la media aritmetica dei reciproci.
I Pitagorici e il Problema
dell’irrazionale
Anche
se non si può risalire al periodo preciso in cui fu scoperto il numero
irrazionale, la sua scoperta viene
attribuita ai Pitagorici.
Una
tale scoperta, pare sia stato un dramma per la setta dei pitagorici, era una
anomalia che rendeva imperfetta loro dottrina! Come modellare l’universo su di
un numero irrazionali! Era il crollo di quel numero essenza primordiale
dell’universo fisico, era il crollo di una realtà armonia e numero nel
contempo!
Bisognava non svelare
la scoperta ai non appartenenti alla setta!
Ma non fu così, pare
che un certo Ippaso, così dice Eudemo di Rodi, sia stato annegato per avere
rivelato la scoperta al mondo esterno: l’irrazionale, come il fuoco di Prometeo
era stato donato al mondo!
Sulla scoperta e sul
come il mondo greco sia pervenuto all’irrazionale si sono fatte diverse
ipotesi. K.v.Fritz, asserisce che ad esso si pervenne dalla scoperta della
incommensurabilità tra il lato e la diagonale del pentagono, mentre per
Siegfries Heller, Ippaso di Metaponto nel costruire un pentagono scoprì la
sezione aurea ( cioè quella parte medio proporzionale tra tutto il segmento e
la sua parte restante ) e da questa l’incommensurabilità tra segmenti: la
scoperta dell’irrazionale, sarebbe dunque vincolata al geometrico e alle
proporzioni.
Oggi, quasi tutti
concordano che ad esso si pervenne dal tentativo della duplicazione del
quadrato.
Platone, nel
Menone (82b, 85e) pone didatticamente il
problema del raddoppiamento del quadrata, una didattica magistrale nella quale
lo schiavo Menone perviene induttivamente alla duplicazione del quadrato
credendo di essere pervenuto autonomamente alla risoluzione (soltanto
geometrica badiamo bene!) del problema: il numero irrazionale dunque è un
numero costituito da infinite cifre decimali dopo la virgola che si succedono
senza alcuna legge riproducibile, ma può essere, fissato un segmento unitario
rappresentato esattamente su quello che noi chiameremo asse reale. L’unione dei
numeri razionali e irrazionali costituirà un nuovo insieme che prenderà il nome
di Insieme dei numeri reali.
La dimostrazione della
incommensurabilità di
, pare, così asserisce Aristotele, sia stata data dagli
stessi pitagorici, per assurdo. Essa consisteva nel dimostrare che se la diagonale
fosse commensurabile con uno dei lati del allora uno stesso numero sarebbe
contemporaneamente pari e dispari.
Se l è il lato del
quadrato e d è la sua diagonale si ha 
da cui segue che 
ed ancora che 
. Se 
ed 
sono primi tra loro,
cioè se il rapporto è ridotto ai minimi termini, allora se è pari anche il suo quadrato sarà pari poiché il quadrato d
i un numero dispari è dispari. Ma se è pari, per l’ipotesi fatta che ed debbono esser primi tra loro, deve esser dispari e dispari sarà il so quadrato. Poiché è pari si avrà che 
con 
un qualsivoglia intero ovviamente positivo e 
da ciò,
semplificando,si deduce che 
contro l’ipotesi che era dispari.
E’ da osservare, che
gli egizi lavorassero già con i numeri irrazionali, come pure i Babilonesine; quest’ultimi ne fornivano soltanto dei valori
approssimati, ma, come ipotizza Morris Kline, “ è probabile che non sapessero
che le loro approssimazioni frazionarie
sessagesimali non avrebbero potuto essere rese esatte “.
Dunque, merito dei
Pitagorici se oggi parliamo di rapporti incommensurabili. Con tale grandiosa
scoperta avviene anche il crollo dell’aritmogeometria, si spiana la strada a
filosofi e matematici della scuola Eleatia e comincia il lungo cammino verso la
razionalità con l’esigenza sempre più pressante di dimostrazioni sempre più
rigorose.
Gruppo di studio: Alaimo Girolamo – Cusimano Ilaria
Bibliografia
Gino Loria “ Storia
delle matematiche “
Ed. Sten Torino 1929
Carl B. Boyer “ Storia
della Matematica
Ed. Oscar Mondatori
2004
Morris Kline “ Storia
del pensiero matematico “
Ed. Biblioteca Einaudi
Torino 1972
Filippo Franciosi
bollettino dell’istituto di filologia
“ L’irrazionalità
nella matematica greca arcaica “
Paul-Hary Michel “ De Pithagore a Euclide “
Ed. Les belles lettres
1950
Euclide “ Gli Elementi “ a cura di A. Fraiese e L. Maccioni
Ed. U.T.E.T Torino
1988